2024 182호 / 지식더하기 ①

포스테키안

2024-08-23 36

경제적 주문량(EOQ) 모델

어떠한 기업이나 조직에서 물품을 생산해 판매할 때, 미래에 대비하기 위해 ‘재고1’를 마련합니다. 재고는 기대되는 수요를 충족시켜 생산공정이 원만하게 진행되도록 하는 기능을 가지고 있습니다. 이러한 재고를 관리하는 데 드는 비용인 재고비용은 크게 세 가지로 나뉘는데, 재고 유지 비용, 주문 비용, 재고 부족 비용입니다. 제조 활동에 있어 최상의 재고 관리 방법은 재고비용을 극소화할 수 있는 적절한 재고 수준을 결정하는 것입니다. 이번 지식더하기에서는 재고 수준을 적절하게 결정하기 위해 사용되는 대표적인 방법 중 하나인 포드 휘트먼 해리스(Ford Whitman Harris)의 경제적 주문량(EOQ) 모형에 대해 알아보겠습니다!

경제적 주문량 모형의 목적은 재고 유지 비용과 주문 비용을 합한 비용을 최소화하는 1회 주문량(경제적 주문량)을 구하는 것입니다. 먼저, 총재고 유지 비용과 총주문 비용을 각각 구해보겠습니다!

총재고 유지비용은 ‘평균 재고’와 ‘재고 단위당 재고유지비용(H, Holding Cost per Inventory Units)’을 곱해 구합니다. 위 그래프를 보면 주문량이 한번 입고될 때마다 Q(Quantity)에서 0까지 일정하게 감소하기 때문에 평균 재고는 (Q + 0) / 2이겠죠?

총주문 비용은 ‘총주문 횟수’와 ‘1회 주문비용(S, Set-up Cost per Order)’을 곱해 구합니다. 이때 ‘총수요량(D, Demand)’을 ‘1회 주문량(Q, Quantity)’으로 나누면 ‘총주문 횟수’를 구할 수 있습니다.

이렇게 구한 ‘총재고 유지비용’과 ‘총주문 비용’을 더하면 총비용(TC, Total Cost)이 나옵니다.

그렇다면 이 식을 통해 어떻게 경제적 주문량을 구할 수 있을까요? 모형의 창시자 해리스(Harris)의 가정에 의하면 1회 주문량(Q) 외에 요소들은 전부 고정되어 있어서 변하지 않기 때문에 위 식은 주문량(Q)에 대한 방정식이자 총비용에 대한 함수입니다. 먼저, 총비용에 대한 함수의 관점에서 위 식을 주문량(Q)에 대해 미분해 보면 다음과 같습니다.

미분한 식이 0이 되도록 하는 주문량(Q)이 의미하는 바는 무엇일까요?

찾은 주문량을 기준으로 미분된 식의 부호가 음에서 양으로 바뀌는 걸 보니 함수는 Q = √2DS/H에서 극소인 거 같네요! 이 식을 그래프로 나타내면 아래와 같습니다.

이번에는 방정식으로 접근하여, 총재고 유지비용 함수와 총주문 비용 함수의 교점을 구해보겠습니다.

이전과 동일한 주문량(Q)이 도출된 것을 볼 수 있습니다. 경제적 주문량은 총비용 곡선이 최소인 지점에서 발생하며, 이는 총재고 유지비용 곡선이 총주문 비용과 정확히 일치하는 지점입니다.
더 나아가 소비자의 대량 구입을 유도하기 위해 대량 구입에 대한 가격을 낮추는 수량할인 모형도 있습니다. 해당 모형에서는 총비용을 구하는 기존 식에 ‘구매비용’까지 더해주어야 합니다. 구매비용은 ‘단위당 구매가격(P, Price)’과 ‘총수요량(D)’을 곱한 것입니다.