포스테키안

2024 181호 / 지식더하기 ②

2024-04-29 141

반도체 내 캐리어 농도

 

캐리어 농도1는 반도체 소자의 동작을 예측하기 위해 필요한 아주 기본적인 개념 중 하나입니다. 캐리어 농도를 알면 반도체의 전기전도도를 알 수 있을 뿐만 아니라, 캐리어의 이동을 예측하고 조절함으로써 반도체 소자가 우리가 원하는 동작을 하도록 만들 수 있습니다. 오늘은 반도체 내 캐리어 농도 구하는 법을 알아보겠습니다!

➊ 페르미 준위와 Density of States

페르미-디락 분포는 열적평형상태에서 페르미온2이 보이는 통계적 분포입니다. 쉽게 말하자면, 어떤 에너지 준위에 양자 상태라는 방이 있는데 그 방에 전자가 존재할(채워질) 확률을 의미합니다. 페르미-디락 확률 함수는 다음과 같습니다.

식을 통해 이 함수는 E(에너지)에 대한 함수이며, Ef 가 변하면 함수가 E축을 따라 이동함을 알 수 있습니다. f(E)가 전자가 존재할 확률이라면 1–f(E)는 전자가 비워질 확률, 즉 정공이 존재할 확률이며 두 확률의 대소는 Ef 를 기준으로 뒤바뀝니다. 이 점을 유의하고 그림 1의 그래프를 관찰하면 Ef 에서 멀어질수록 전자 또는 정공이 존재할 확률이 줄어드는 것을 볼 수 있을 겁니다! 이때 페르미 준위는 각 캐리어가 존재할 확률이 50%가 되는 준위를 말합니다.

그림 1. 온도에 따른 페르미 함수의 변화

전자가 채워질 확률이 0이 아니더라도 전자가 채워질 수 있는 방이 없다면, 전자는 그 준위에 존재하지 못하겠죠? ‘특정 에너지 준위에 몇 개의 전자(또는 정공)가 존재할 수 있는가’를 나타내는 지표가 바로 DOS(Density of States)입니다. 그림 2의 두 번째 그래프를 보면, 밴드갭 위쪽 그래프는 전자의 DOS, 아래쪽 그래프는 정공의 DOS를 나타내는데요. 밴드갭에서 멀어질수록 전자와 정공의 DOS 모두 증가하는 것을 확인할 수 있습니다. 그렇다면 이제 전자가 들어갈 수 있는 방의 개수와 그 방에 전자가 존재할 확률을 곱해 봅시다. 그 결과 우리는 마지막 그래프, 즉 에너지 준위에 따른 캐리어 농도를 알 수 있습니다! 이 그래프를 적분하면, 각각의 대역 전체에 존재하는 전자, 정공의 농도를 알 수 있겠죠? 계산은 생략하겠지만, 그 결과는 다음과 같이 나타납니다.

그림 2. 진성 반도체(Intrinsic Semiconductor)3의 캐리어 농도를 구하는 과정

 

➋ 도핑에 따른 페르미 준위, 캐리어 농도의 변화

반도체에 불순물을 추가하면 반도체의 전기적 특성을 변화시킬 수 있고, 이를 도핑(Doping)이라고 합니다. 그렇다면 도핑은 페르미 준위에 어떤 변화를 일으킬까요? 5족 원소를 도핑한 n형 반도체의 캐리어 농도를 구하는 과정을 살펴봅시다.

그림 3. n형 반도체의 캐리어 농도를 구하는 과정

그림 3에서 볼 수 있듯이 5족 원소의 도핑은 페르미 준위(Ef)가 높아지게 만듭니다! Ef 가 변하면 f(E)가 E축을 따라 이동한다는 것을 기억하시나요? f(E)를 E축 상에서 양의 방향으로 이동시킨 뒤 DOS와 곱하면 전자 농도가 정공 농도보다 훨씬 높아졌음을, 그래프의 면적을 통해 확인할 수 있습니다. 덧붙여, 아까 구한 전자, 정공의 농도 식에서 Ef 를 조절하며 n, p의 크기 변화를 관찰해도 같은 결과를 얻을 수 있습니다! 정공 농도가 전자 농도보다 커지기 위해선 페르미 준위가 낮아져야 한다는 것도 추론할 수 있겠죠?

지금까지 반도체 내 캐리어 농도를 구하는 법을 알아보았습니다. PN 접합, 금속-반도체 접합, 이종접합 등 더 다양한 반도체의 동작들이 궁금하신 분들은 캐리어의 표동과 확산, 전자-정공쌍의 생성과 재결합 등의 개념을 이해한 뒤 해당 반도체에 관해 공부해 보시기 바랍니다!

 

글. 전자전기공학과 22학번 28기 알리미 조소혜

[각주]
1. 전자 또는 정공과 같이 반도체 내에서 전류를 만들어 내는 것
2. 홀수차 반정수의 스핀을 가지는 입자로, 전자가 대표적임
3. 불순물을 첨가하지 않은 순수한 반도체
[그림 출처]
그림 1, 2, 3 . Ben G. Streetman, and Sanjay Kumar Banerjee. Solid State Electronic Devices. 7th ed., Pearson, 2014.
[참고 자료]
Ben G. Streetman, and Sanjay Kumar Banerjee. 『고체전자공학』. 곽계달, 김성준, 전국진 옮김. 성진미디어, 2015년.