포스테키안

2022 봄호 / 지식더하기 ①

2022-04-15 136

유체의 연속 방정식

 

아르키메데스의 ‘유레카!’를 아시나요? 아르키메데스는 부력에 대한 원리를 발견했는데요. 부력은 유체와 관련된 다양한 힘과 운동 등 물리의 역학 관계의 많은 내용과 연관되어 있습니다. 부력의 원리와 유체의 연속 방정식까지 함께 알아볼까요?

 

부력과 힘
부력과 아르키메데스 원리에 대해서는 배운 적이 있겠지만, 다시 한번 짚고 넘어가 봅시다. 부력이란 유체에 잠긴 물체를 밀어 올리는 힘으로, 유체流體란 기체와 액체를 모두 포함합니다. 부력의 크기는 (실제 물체의 무게) – (유체에 잠긴 물체의 무게)이며, 부력은 물체에 작용하는 압력 차로 물체가 위쪽으로 상승하게 하는 합력 때문에 아래로 작용합니다.

아르키메데스 원리란 유체에 잠긴 물체가 받는 부력의 크기가, 잠긴 부피만큼의 유체의 무게와 같다는 것입니다. 잠긴 만큼의 부피가 V, 유체의 밀도가 ρ면 부력의 크기는 ρVg이며 힘의 평형에 의해 물체에 작용하는 Fnet는 0이어야 하므로, mg = ρVg가 됩니다. 따라서, 유체의 밀도와 잠긴 부피에만 영향을 받게 되는 것이죠. 위의 [그림 1]에서처럼, 밀도가 다른 3개의 물체는 무게가 각각 다르지만, 잠긴 부피와 유체의 밀도가 동일하기 때문에 부력의 크기는 같습니다. [그림1]에서는 이후에, 힘의 평형에 의해 돌은 가라앉고 나무는 떠오를 것을 예측할 수 있겠죠?
힘의 평형에 대한 원리로는 파스칼의 원리도 있습니다. 파스칼의 원리는 유체압력 전달원리Principle of Transmission of Fluid-Pressure라고도 불리는데요.
이 원리는 폐관의 비압축성 유체는 한쪽에 발생한 압력의 변화가 다른 부분에 동일하게 전달되어, 폐관의 양쪽 면적이 다를 경우 전달된 압력의 변화가 동일해도 힘에 차이가 있다는 것입니다. 여기서, 비압축성 유체는 압력을 가해도 부피가 변하지 않는 유체로, 물리 현상에도 밀도가 변하지 않는 유체입니다. 그림을 통해 수식으로 표현해 보면 각각 압력은 P1 = F1/A1 , P2 = F2/A2이며 압력은 동일하기 때문에 F1/A1 = F2/A2, F2 = F1*A2/A1이 되므로, 같은 압력 변화량에 대해 A2를 키우면 더 큰 힘이 작용하는 것이죠.

유체에서의 연속 방정식
연속 방정식은 저번 호 지식더하기에서 다뤘던 편미분항을 포함한 미분방정식으로, 유체에서의 연속 방정식은 유체의 운동을 기술합니다. 질량 보존의 법칙에 의해 들어오는 유체와 나가는 유체의 양이 같다는 것을 수학적으로 표현합니다. 이 유체가 비점성이며 비압축성 유체이고, 유체가 1초에 흐르는 양이 균일한 정상 상태Steady State이며 입구와 출구가 각각 1개인 상황이라고 생각해 봅시다. 이때 들어오고 나가는 유체의 양을 단위 시간당 통과하는 유체 부피로 정의하는 체적 유량Volume Flow Rate은 면적과 유체의 속도의 곱인 Av로 표현됩니다. 밀도가 동일하므로 질량이 보존된다는 것은 단위 부피가 보존된다는 것이기 때문에 체적 유량이 동일한 A1 v1 = A2 v2을 알 수 있습니다.
일반적인 연속 방정식 ∂φ/∂t +∇.f =s에서 f는 유량Flux을 뜻하며, 유체에서는 단위 시간 동안 이동한 유체의 부피를 의미합니다. 유체의 연속 방정식이므로, φ는 물리량 중 밀도 ρ, f는 속도 v로 흐르는 유체의 양인 ρv로 나타납니다. 질량 보존의 법칙에 의해 유체의 연속 방정식은 ∂ρ/∂t +∇.(ρv) =0으로 일정하다는 것을 알 수 있겠죠. 만약 밀도가 일정하지 않지만 정상 상태인 비압축성 유체 조건을 추가하면, 시간당 밀도의 변화량은 없고 체적 유량도 일정하기 때문에 ∂ρ/∂t=0, ∇.(ρv)=0으로 각항이 0임을 알 수 있지만 ∇.v =0인지는 이 조건에서 확실히 알 수 없는 것이죠.

지금까지 유체에 작용하는 힘과 유체의 운동까지 알아보았는데요. 더 나아가 공부해 보고 싶은 친구들은 유체의 에너지 보존을 기술하는 오일러 방정식과 베르누이 방정식, 실생활 속 마그누스 효과까지 찾아본다면, 더 흥미로운 내용을 알 수 있을 거예요!

 

[참고자료]

1. 「부력」, 『위키피디아』,
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B6%80%EB%A0%A5
2. 「비압축성 유체」, 『사이언스몰 과학백과사전』,
https://www.scienceall.com/%eb%b9%84%ec%95%95%ec%b6%95%ec%84%b1-%ec%9c%a0%ec%b2%b4incompressible-fluid/
3. 「연속 방정식」, 『위키피디아』,
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B0%EC%86%8D_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D
4. Deepakkumar Jani, 「체적 유량」, 『LamdaGeeks』,
https://ko.lambdageeks.com/volumetric-flow-rate-volume-flow-rate/#:~:text=%EC%B2%B4%EC%A0%81%20%EC%9C%A0%EB%9F%89%20(%EC%B2%B4%EC%A0%81%20%EC%9C%A0%EB%9F%89%2C%20%EC%9C%A0%EC%B2%B4,%EB%98%90%EB%8A%94%20V%EB%A1%9C%20%ED%91%9C%EC%8B%9C%EB%90%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4.

 

글 / 전자전기공학과 20학번 26기 알리미 유현아