포스테키안

2021 겨울호 / 지식더하기 ①

2022-01-19 132

편미분과 기울기 벡터
Partial Derivative & Gradient Vector

 

여러분에게 미분이란 어떤 존재인가요? 우주는 미분으로 쓰여있다는 유명한 교수님의 말처럼 미분을 조금만 들여다보면, 단순히 계산을 넘어 우리가 살아가는 세상을 설명하고 있다는 걸 느낄 수 있습니다. 여러분에게 익숙한 2차원상의 미분에서 뻗어 나가 편미분을 배워보고, 미분이 세상을 설명하는 한 가지 예시인 기울기 벡터까지 알아봅시다!

먼저, 여러분에게 익숙한 미분을 다시 정리해 봅시다. ‘어떤 함수를 미분한다’라는 말은 무슨 뜻일까요? 바로 ‘어떤 함수의 도함수, 즉 순간변화율을 구하는 것’이죠. 여기서 순간변화율은 우리가 기울기를 구하는 식에서 그 의미를 명확하게 알 수 있습니다. x에 대한 함수 f(x)에 대해서, 두 점 (a, f(a)), (b, f(b)) 사이의 기울기는 다음과 같은 식으로 구할 수 있죠. f(b) – f(a) / b – a 바로 이 식에서 b가 a에 한없이 근접하게 되면, 해당식은 마치 a점에서의 순간적인 변화율을 구하는 것으로 바뀝니다. 식으로 일반화하면, 극한을 사용하여 다음과 같이 나타냅니다.

위에서 구한 순간변화율의 식은 2차원에서 미분함으로써 얻은 결과인데요. 우리가 사는 3차원에서 미분을 하기 위해선 어떻게 해야 할까요? 우선, 3차원 공간에 변수가 2개인 함수 z = f(x, y) = x²+ y²가 존재한다고 합시다. 이를 xy평면에 나타내면 다음과 같습니다.

이때, z = f(x, y)에서 y = 2인 면 위의 임의의 점 x에서의 순간변화율은 위에서 구한 식에 대입하면 구할 수 있습니다.

이를 그래프로 나타내면, 다음과 같이 z = f(x, y)y = 2가 만나면서 생기는 교선, z = x²+ 4가 그려집니다. 그리고 앞서 구한 순간변화율은 z = x²+ 4 위 임의의 x에서의 순간변화율을 의미하기 때문에 그 값은 x²+ 4x에 대해서 미분한 값인 2x가 됩니다.

이렇게 우리에게 익숙한 것에서 차원만 하나 확장했을 뿐인데 여기서 편미분에 대한 개념을 알 수 있습니다. 편미분(Partial Derivative)이란, 앞서 살펴본 f(x, y) = x²+ y²와 같이 변수가 둘 이상인 다변수 함수에서 하나의 변수를 제외한 나머지 변수들을 모두 상수 취급하고, 그 변수에 대해서 미분하는 것을 말합니다. 즉, 앞서 y = 2라는 평면과 z = f(x, y)의 교선을 구하고 그 교선에서의 순간변화율을 구하는 과정이 바로 다변수 함수 f(x, y)에서 y를 상수 취급하고 x에 대해서 미분하는 편미분이었습니다. 이를 변수가 2개인 함수에 대해 일반화하면 다음과 같습니다.

즉, 어떤 변수에 대해 미분할지에 따라 결과가 달라질 수 있습니다. 이때 기호 ∂는 ‘라운드’ 또는 ‘델’ 등으로 읽으며, 우리가 아는 미분 기호인 d와 편미분을 구분해 주기 위해서 사용합니다. 또한, 다변수 함수 f(x, y)x에 대해서 편미분한 결과인 ∂f/∂x(또는 fx)를 x에 대한 f(x, y)의 ‘편도함수’라고 정의합니다.
그렇다면, 앞서 배운 편미분을 이용해 개념을 확장해 봅시다. 먼저, 다변수 함수 f(x, y) = x²+ y²x, y에 대해서 각각 편도함수를 구해주면, fx = 2x, fy = 2y입니다. 이들을 각각 x방향 성분, y방향 성분으로 가지는 벡터를 기울기 벡터(Gradient)라고 합니다. 어떤 함수 f의 기울기 벡터를 얻는 연산자로는 ∇을 사용하며, ‘델’ 또는 ‘나블라’라고 읽습니다. 정리하면, 다변수 함수 f(x, y)의 기울기 벡터
f(x, y)fxî + fyĵ(î, ĵ는 각각 x, y방향의 단위벡터)로 나타낼 수 있습니다. 앞선 예에서 함수 f(x, y)의 기울기 벡터를 구하면, ∇f(x, y) = 2xî + 2yĵ입니다. 이를 아래와 같이 xy평면 위에 나타낼 수 있습니다.

위에 제시된 두 그림을 함께 보면 알 수 있듯이, 각 점에서 기울기가 가장 가파른 방향으로 벡터가 향한다는 것을 확인할 수 있습니다. 이렇게 스칼라 함수인 f(x, y)로부터 편미분을 통해 기울기 벡터를 얻어냄으로써 3차원상에서 의미 있는 값으로 활용할 수 있습니다.
지금까지 여러분에게 익숙한 미분에서 편미분으로, 편미분에서 기울기 벡터로 두 번의 확장을 통해 생소한 개념을 배워봤는데요. 혹시 편미분과 기울기 벡터와 관련지어 다차원의 미분에 대해 더 공부해 보고 싶은 친구들은 ∇(Del Operator), 발산(Divergence) 그리고 회전(Curl)을 공부해 보는 걸 추천할게요!

 

참고 자료
[1] https://blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=dydrogud22&logNo=220226625426
[2] https://angeloyeo.github.io/2019/08/25/gradient.html

 

글. 전자전기공학과 20학번 26기 알리미 노유성